2018. 8. 23. 12:05 주저리/뻘글

문제적 남자

 

문제적 남자를 보다보면, 아쉽다는 생각이 종종 들게 된다.

 

출연진의 문제 풀이 방식이 거의 찍기 처럼 나오니까. 

 

누가누가 빨리 특정 관점을 찾아서 빨리빨리 풀어내냐 싸움이랄까.

 

이거엔 운도 겁나 따르거든.

 

예능이다보니까 자세한 풀이를 설명하면 노잼화되서 그런가.

 

사실 이장원이나 하석진은 수학관련 문제 나오면 제대로 각 잡고 풀이할 수 있을 것 같은데. 

 

뭐. 특정 포인트를 빨리 캐치하는 능력과 그 아이디어를 구체화,정교화 시키는 능력은 또 다른거긴 하지만.

 

그래도 문제 자체는 재미있어서 종종 풀어보게 된다, 이번엔 이 문제다.

박스는 사실 수열임.ㅇㅇ

 

 

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수열 1,2,3,4,5,6,7,8 이 있.

이 수열에서 인접한 두 수를 같이 위치를 변환할 수 있.

(: 1,2,3,4,5,6,7,8 >>> 3,4,5,6,7,8,1,2 )

이런 식으로 위치를 바꿔가며 만들어진 두 수의 차가 671이.

움직이는 횟수가 최소일 때, 그 횟수를 구하라.

-----------------------------------------------------

 

일단 두 수의 차가 671이므로,

문제에서 이야기 하는 두 수는 모두 네자리수 임을 알 수 있.

따라서 abcd efgh 의 형태를 띠는 두 수.

 

집합 A를 정의한. A={1,2,3,4,5,6,7,8}

그리고 {a,b,c,d,e,f,g,h}=A.

 

여기서 abcd >efgh라고 가정한.

둘의 크기를 바꿔도 사실 상관 없.

 (a,b,c,d, e,f,g,h e,f,g,h, a,b,c,d 위치변환은 2회로 가능)

 

abcd-efgh=671

 

이 식에서 얻어낼 수 있는 단서는 아래와 같:

a-e=1. 뺄셈 결과의 천의자리가 0이기 때문.

d-h=1 or h-d=9. 하지만, 수열에는 1부터 8까지 있기 때문에, 최대 차는 7에 불과하므로, d-h=1 이 확정.

(a,e) and (d,h) {(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7)}.

a,e d,h 각각 모두 인접한 두 수의 조합임을 알 수 있.

 

bf의 경우, 넷째자리에서 10을 하나 내려 받았. 그러므로 b<f.

c,g의 경우엔 셋째자리에서 10을 내려받을 수도 있고, 안 받을 수도 있. 다만 첫째자리로의 내림은 없.

따라서 다음과 같이 표현 가능하:

if c>g; 10+b-f=6 and c-g=7.

(b,f){(1,5),(2,6),(3,7),(4,8)}

(c,g) =(8,1)

if c<g; 10+b-1-f=6. and 10+c-g=7.

(b,f) and (c,g) {(1,4),(2,5),(3,6),(4,7),(5,8)}

 

이제 단서를 가지고 조합하는 일만 남았.

과정은 대입하면 되므로 여기선 그냥 생략.

가능한 가짓수는 총 4.

(abcd, efgh) ∈ { (3517, 2846),(7513,6842),(3157,2486),

                         (7153,6482)}

 

이제 1,2,3,4,5,6,7,8 의 수열의 항들을 대규칙에 따라 위치 변환을 시켜보자.

(두개의 인접한 수를 한번에 옮길 것.)

상세한 과정을 요약하면 다음과 같:

 

우선 저 숫자들을 두자리씩 끊는. (: 35/17/28/46)

그리고 웬만하면 양 쪽 끝에 있는 숫자를 한번 만들어 본.

(: 12345678 14235678)

그리고 만들어진 두자리 숫자를 맞는 자리로 이동.

(14235678 35142678)

남은 숫자를 이용해 위 과정을 계속 반복.

 

이런 작업을 통해 필요한 변환 횟수는 최소 4 임을 알 수 있.

-------------------------------------------------------------------------

 

여기까지는 시간을 들이면 다 푼다.

하지만 여기서 생각을 멈추면 안되지.

거기까지가 예능에서 나온 사고의 끝이고 우리는 더 나아가야 하니까.

 

문제를 좀 수학적으로 다시 쓰면 이렇다.

 

수열 A(n)=a(1), a(2), a(3), ... ,a(n-1), a(n).

(n2, nN, a(n)N. a(1)a(2)a(3)......a(n-1)a(n)) 이라 정의한다.

수열에서 인접한 두 항을 순서 그대로 다른 항들 사이나 수열의 양 끝으로 이동이 가능하다.

이를 통해 새로운 수열 A'(n)을 만들 수 있다.

이 행위를 '위치이동'이라 정의한다.

 

1. 2이상 n이하의 어떤 자연수 k에 대해 a(k)'위치이동'을 통해 다른 모든 항으로 이동하는 것이 가능한가?

 

2. 다음 문장을 증명하거나 반증하시오.

n2, nN 일 때, 기존 수열과 '위치이동'을 통해 새롭게 생성할 수 있는 수열의 총 개수는 n!/2이다.

 

3. A(n)의 각 항들의 순서를 무작위로 섞어서 만든 새로운 수열이 , 원래의 수열에서 '위치이동'에 따라 생성될 수 있는지 '위치이동' 과정을 거치지 않고도 판별할 수 있을까?

 

4. '위치이동'에 따라 새로 생긴 수열이, 원래의 수열에서 몇번의 '위치이동' 과정을 거쳤는지 직접 하지 않고도 알아낼 수 있을까?

 

1,2번은 수학적 귀납법으로 충분히 증명 되는데, 3,4번은 꽤 고민되는 문제다.

Posted by 胤熤

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